Andrej Kostic è nato il 16 gennaio 2007 a Podgorica, in Montenegro, e proprio nella sua città natale ha mosso fin da giovanissimo i primi passi nel mondo del calcio.
È cresciuto nel settore giovanile del Buducnost, uno dei più prolifici in assoluto del suo Paese e non solo, nel quale ha fatto una velocissima trafila.
Nell’edizione 2024-2025 si è messo in mostra anche in Youth League, segnando all’esordio nell’andata in casa della Dinamo Tbilisi, per poi ripetersi nel match di ritorno, quando con una tripletta ha trascinato la sua compagine al secondo turno, dove poi è stata eliminata dal Trabzonspor.
Nel frattempo ha iniziato a fare la spola con la prima squadra, con la quale aveva già debuttato nel massimo campionato montenegrino nel marzo dello stesso anno.
Contribuisce alla conquista del titolo nazionale segnando quattro goal e mettendo a referto tre reti in appena 498’ di gioco, suddivisi in venti presenze.