Nato a Trebigne, nella ex Jugoslavia (da non confondere con Trebinjè, in Albania) nel 1987, nella vita di Begovic non c'è mai stato nulla di normale: quando il piccolo Asmir muoveva i suoi primi passi la Jugoslavia implodeva in una guerra civile che costringeva la sua famiglia a fuggire in Germania. E' lì che Asmir cresce e si avvicina al calcio, nel ruolo di portiere. Una sorta di autodifesa naturale per chi nella vita è stato costretto sin da subito a pensare prima a non prenderle.
A casa sua, che nel frattempo era diventata parte del territorio bosniaco, al confine con la Croazia, c'è tornato solo tanti anni dopo, per vederne i resti. "Casa mia non esisteva più, nulla esisteva più", ha raccontato.
Come accaduto per tutti coloro nati nei territori della ex Jugoslavia, la sua nazionalità è stabilita dagli attuali confini geografici e dunque, come detto, Asmir Begovic è bosniaco. Ma non solo. È anche canadese. Sì, perché sei anni dopo la fuga in Germania, la famiglia Begovic vola in cerca di fortuna in Canada ed è lì che il piccolo Asmir - all'epoca 10 anni - ottiene un nuovo passaporto che gli permette di disputare il Mondiale Under 20 del 2007, proprio in Canada, e a ricevere la prima convocazione - seppur senza giocare - nello stesso anno. La Nazionale canadese lo convocherà altre volte ma senza mai farlo giocare ed è per questo che poi, d'accordo col c.t. Blazevic, potrà poi giocare con la maglia della Bosnia.
A Edmonton, in Canada, inizia a giocare con la maglia del Southwest Sting SC, ma il suo peregrinare non si placa e all'età di 16 anni approda in Inghilterra, dove entra nel settore giovanile del Portsmouth. Da lì è un lungo girare in prestito: prima in Belgio (a Là Louviere) e poi in numerosi club inglesi, toccando persino la quarta serie.
GettyNel marzo del 2009 la svolta: il Portsmouth lo richama dal prestito allo Yeovil e lo fa persino debuttare, prima in FA Cup contro il Bristol, partita nella quale non subisce reti, poi in Premier nel 3-1 rifilato al Sunderland. Nel frattempo, proprio in quegli anni in cui la sua carriera stava per spiccare il volo, la perdita del nonno lo spinge a fermarsi. Soltanto temporaneamente, per fortuna.
Il volo definitivo però, Begovic lo spicca quando firma per lo Stoke City. Il club dello Staffordshire gli dà totale fiducia e gli consegna la maglia da titolare in Premier League senza indugi. Sono gli anni di Crouch e Nzonzi, di Pennant e Huth, anni di salvezze tranquille e soddisfazioni. Anni in cui Begovic si toglie anche lo sfizio di segnare un goal, con un lungo rinvio che beffa Boruc in una storica sfida col Southampton datata 2 novembre 2013. Il goal arriva da 92 metri e diventa quello segnato da più lontano nella storia, prima del nuovo record messo a segno da Tom King nel gennaio 2021.
Goal che permette a Begovic di diventare il primo portiere ad entrare nel Guinness dei primati. Ed è un vero paradosso, perché non ci è riuscito grazie alle sue parate, ma per merito di un goal segnato. Davvero incredibile.
Nel 2015 è addirittura il Chelsea a puntare su di lui per raccogliere l'eredità di Petr Cech come vice di Thibaut Courtois e, seppur da "secondo", si toglie la soddisfazione di vincere la Premier League con Antonio Conte in panchina, disputando due gare.
Poi la voglia di giocare di più lo spinge al Bournemouth, dove vive due stagioni prima di farsi attrarre da una nuova avventura al Qarabag, in Azerbaigian, prima di prendere il posto di Reina al Milan come vice-Donnarumma.
Con i rossoneri scende in campo due volte, prima del ritorno al Bournemouth e della chance all'Everton, che nel luglio 2021 lo tessera come secondo portiere alle spalle del titolare Pickford.