Kvaratskhelia est connu pour être un fan des Blancos, et après que Naples a été versé dans le même groupe de Ligue des champions que le Real Madrid, les rumeurs d'un transfert potentiel ont refait surface.
Dans une récente interview avec Calcio Napoli 24 (relayée par AS), l'agent du joueur de 22 ans, Mamuka Jugeli, a rejeté l'idée. "Nous n'y pensons pas. Nous ne pensons pas à quitter Naples. Quand un jour Kvara sera prêt à jouer à Madrid ou au Barça, nous l'analyserons", a-t-il déclaré.
Le père du joueur, supporter du FC Barcelone, a déclaré : "Je veux que les supporters sachent que Kvara est prêt à jouer à Madrid ou au Barça : "Je veux que les supporters sachent que Khvicha ne veut pas changer de club et qu'elle donnera tout pour Naples. Nous sommes très reconnaissants."
Des clubs de toute l'Europe, dont le Real Madrid et Chelsea, se sont intéressés à Kvaratskhelia après sa première saison explosive à Naples. L'ailier a inscrit 14 buts et délivré 17 passes décisives en 43 matches toutes compétitions confondues, mais les vainqueurs du Scudetto ont réussi à le retenir après avoir fixé son prix à 100 millions d'euros (87 millions de livres sterling / 97 millions de dollars).