Kurang mendapat jam terbang di skuad utama Chelsea, Gilmour dipinjamkan selama satu musim ke klub jawara Divisi Championship Inggris, Norwich City.
Selama musim 2020/21, gelandang 20 tahun itu melakoni lima penampilan liga bersama Chelsea, dan hanya dua kali bermain 90 menit penuh. Namun, catatan miliknya pada laga-laga tersebut cukup mengilap dan bisa dibanggakan. Sebut saja saat melakukan debut di Liga Champions, Gilmour sukses menjadi Man of the Match kala The Blues ditahan imbang 1-1 oleh FK Krasnodar.
Begitu pula di level tim nasional, saat pertandingan Skotlandia kontra Inggris di Euro 2020, Gilmour mencatatkan akurasi passing hingga 89 persen, terbanyak dari pemain Skotlandia lainnya. Bergabungnya Gilmour ke The Canaries, menjadi momentum pembuktian kualitas dirinya sebagai pemain muda yang patut diwaspadai.