Enzo Díaz iniciou sua carreira no profissional no Agropecuario, equipe da cidade de Buenos Aires, onde ganhou visibilidade até se transferir para o Talleres - primeiro por empréstimo, depois em definitivo. Ele foi, por exemplo, titular na eliminação do São Paulo na pré-Libertadores de 2019 - o Tricolor perdeu por 2 a 0 na Argentina e, em casa, ficou no 0 a 0. Em 2022, se transferiu para o River Plate, onde atuava sobretudo na rotação da equipe.
Em agosto, a GOAL já havia noticiado que o São Paulo havia feito contato com intermediários do atleta. À época, porém, o clube argentino exigia cerca de US$ 4 milhões pela liberação do atleta.